极限是微积分的基础。相信大家在学习高等数学的时候没少跟极限打交道。

大家最容易接受的极限，是单参数极限。即是说，随着某个参数的变化，如何刻画函数值的收敛性。这种思路很容易理解，也因为此，大家普遍比较能接受“常微分方程的稳定性分析”，因为它就是在讨论系统随着时间t趋向于无穷的长时间行为。

但是，数学所要处理的收敛性远比这要复杂。比如，当涉及两个参数同时变化的时候，相应的数学处理就困难许多。更重要的是，特别在概率论当中，我们面对的随机变量序列（或者说随机过程）的收敛性更是多种多样。大家知道，随机过程X(t, w)有两个参数，t代表时间参数，w代表样本。固定时间t，X就是一个随机变量；固定样本w，X就是一个随时间变化的确定轨道。当我们在讨论随机过程X(t, w)随着t的变化规律的时候，我们一定要结合w所在的概率空间来讨论，像方程那样单纯的讨论轨道的收敛是没有意义的，那样就不叫概率论了。

概率空间的构造，是概率学家首先要关心的问题，但在大多数应用概率论处理实际问题的人们看来，这就属于“折腾”。

我们知道，标志着概率论这门学科真正成熟的事件是“概率公理化体系”的建立。换句话说，在此之前，学者们并没有明确的构造概率空间的观念，但这并不代表当时的概率研究没有意义。反而，相当一部分概率论的研究内容在公理化之前就已经展开了，比如正态分布、布朗运动、马氏过程等等。直到今天，除了纯粹的概率学家，绝大多数人是不关心“概率空间”这个概念的，而且这似乎并不影响他们将概率论有效的应用于科学研究中。

这里，我想先简单介绍一下，构造概率空间到底是在做一件怎样的事情。粗略来讲，就是要确定两件事：事件集及其上的概率测度。也就是说，我们首先要搞清楚这个概率模型中的事件到底有哪些，然后对这些可能发生的事件赋以相应的权重，即概率。对于单次抛硬币这样简单的问题，这两件事当然可以做得非常直观简单。但是，对于比较复杂的概率模型（如多次抛硬币），这个问题就会复杂一些。很多朋友一定疑惑，这个问题到底复杂在哪？一方面，在确定“事件集”的时候，我们不仅要使得这个集合包含足够多的可能事件，同时也要使得这个事件集具备一定的运算“封闭性”，否则做概率计算的时候，会出现问题。那朋友会说，直接把这个集合弄得大大的不就行了吗？这会引出另一个问题，就是相应的概率测度可能构造不出来。因为大家要明白，概率测度本身也要遵守一些公理化的要求（特别是可列可加性）。如果定义的事件集太大，那么定义在上面的概率就无法满足其作为“测度”的限制条件。

不可否认，数学家眼中的数学，和物理学家或者生物学家大部分时候应用的数学是不大一样的。当然这个界限很难划定，特别是对于相当一部分理论物理学家而言。仅仅作为一个博士生，我也无法站在比较高的角度审视这个问题。但是，经过这几年对于数学和科技文献的两方面阅读，自己还是积累了一些感知。

我以前也提到过，希望大家不要把数学家在做的工作当作是“瞎折腾”。您认为的“折腾”，其实是数学家必须遵守的行业规范和“数学良知”，这种“折腾”是数学对于科学和社会必不可少的贡献。并且，还有一个现象，普遍来讲，现代数学家对于科学家的工作还是尊重的。就我自己的经历，很多物理学家的工作，明明从数学角度看是错的，或者说是阐述不清的，数学家都会怀着谦卑的态度认真思量一番，他们会在数学逻辑的规范之内寻找科学家工作的合理性。反倒是，科学家不怎么买账。很多时候，当数学家很费力的把事情弄清楚了，科学家们会自称这些事情他们很早就想清楚了，不需要数学家们再“折腾”。

丘成桐先生前些时刚刚拿了大奖：沃尔夫奖。自然可喜可贺！那是对数学家终身成就的肯定。大家估计还知道另一个国际数学大奖：菲尔兹奖。这个奖的名气可能更大。关于奖项的具体细节，大家在网上很容易查到。

但是，大家对我们中国自己的数学奖项，可能知道得不多。谷超豪先生刚刚拿到的最高自然科学奖当然也包括数学，只是那并非数学的专项奖。

这里，给大家介绍几个咱们国内声望很高的数学奖。

1、华罗庚数学奖：该奖主要奖励长期以来对发展中国的数学事业作出杰出贡献的我国数学家。获奖人年龄在50岁至70岁之间。获得这一奖励的数学家都具备较高的学术水平，引起了国内外数学界的瞩目，对促进我国数学研究起到了积极作用。（历届得主参见http://baike.baidu.com/view/89963.htm）

2、陈省身数学奖：该奖旨在激励我国中青年数学工作者对发展我国的数学事业做出贡献。奖励范围为在数学领域做出突出成果的我国中青年数学家，年龄不超过50岁（历届得主参见http://baike.baidu.com/view/297576.htm?fr=ala0_1）。值得注意的是，国际数学联盟近期宣布也设立了一个陈省身奖。这个奖跟上面介绍的奖项并不一样。

好消息！

我在北大的师弟也在科学网上开博了！同样是以概率论为主要内容。

http://www.sciencenet.cn/u/shanzhichao/

我的这位师弟有三大特点：

1、数学功底非常扎实，讲问题清楚明了，具备天生做教师的素质。

2、为人刚直不阿，具备非常强烈的社会责任感。因其批改作业认真严格，同学对他是“又爱又恨”。

3、精通历史。

我相信，大家定能从中收获更多更好的关于概率论的知识和思想。

所以，算是为他的博客做做广告。这里强调，他从未对我提过“做广告”的要求，而是我自愿把我相信好的东西推荐给大家。毕竟，给大家提供概率论方面的帮助是我们共同的目标。

平均场是物理，特别是统计物理中非常重要的一种理论分析方法。有意思的是，几乎学统计物理的老师同学都知道平均场的适用条件是严格甚至苛刻的，历史上也有著名的科学案例（诸如Ising模型的相变问题）明确警示了滥用平均场方法的不良后果，但大家就是难以割舍这种好方法。特别在复杂网络的研究中，绝大部分的理论分析都是采用了平均场的方法。

讨论平均场，真实的反映了物理学家和数学家之间学术标准的差异。数学上说，平均场的适用范围只能是完全图，或者说系统结构是well-mixed，在这种情况下，系统中的任何一个个体以等可能接触其他个体。所以，对于明确的不满足完全图情况的问题，数学家只能去想其它办法，哪怕是“四处碰壁，举步维艰”，数学家始终坚守数学的严格性。反观物理，平均场与其说是一种方法， 不如说是一种思想。其实统计物理的研究目的就是期望对宏观的热力学现象给予合理的微观理论。较为一致的认识是：系统中个体的局部相互作用可以产生宏观层面较为稳定的行为。所以，物理学家坚信，即便不满足完全图的假设，但既然这种“局部”到“整体”的作用得以实现，那么个体之间的局部作用相较于“全局”的作用是可以忽略不计的。这或许就是物理学家不轻易否定平均场的根据。更重要的，恐怕还是平均场方法便于使用。基本上，熟悉常微分方程的人都具备掌握平均场方法的能力。这也降低了分析的门槛。某种程度上，是一件好事。而且，实验也证明，很多时候，这种方法得出的结果跟实际也匹配。

抛硬币是不是随机事件？假设，仅仅是假设，在一个真空的重力环境中，事先确定好抛硬币的角度、力道以及抛射的着力点等等要素，那么可以预见，通过普通物理的动力学分析，硬币出现正反的结果是可以确定的。换句话说，如果能预先控制跟抛硬币相关的“所有因素”，抛硬币似乎就跟随机性无关了。但事实上，谁敢保证能把事情做到这个份儿上呢？或者说，即便做到了，耗费的成本又会大到什么程度呢？

那么该如何去研究抛硬币这种行为呢？

视角一：我们不妨先从直观上把容易控制的部分提取出来作为“确定因素”，把难于把握的部分视作“随机噪声”。当然这其中的一个重要环节是，把哪些部分当做噪声是需要看实际情况的。比如气流平稳的环境，我们把大气环境视作确定因素，而人为抛射等因素是为随机噪声；但对于气流变化无常的环境，大气环境就也应该视作随机噪声。既然考虑噪声，最核心的工作是去“测量”噪声。概率论（或者说统计学）的办法就是通过大量实验，掌握噪声的统计性质。

我是怎么发现科学网的？是一件有趣的事情。当时要讲粒子系统的讨论班，导师给我布置的题目是Ising模型。我在准备Ising模型的过程中，发现自己需要去了解Ising模型的物理背景，以便更好的在讨论班上作介绍。

后面的故事大家估计也猜得到了：我通过搜索引擎，发现了咱们科学网上有关于Ising模型背景的好些文章，其中甚至还包括郝柏林院士的博客。这才跟科学网结缘。后来自己也成为了科学网的博主。我觉得这个过程是美妙的，一方面自己从别人那里增长见识，另一方面也能结合自己的专业帮助别人。

既然是博客，写什么内容自然是博主的份内之事。但是我的确不希望看到科学网的博客中，讨论社会问题的文章比例过高。至于原因怕也不是三言两语说得清楚。我只觉得，科学网首先应该服务教科研人员，特别是在职业层面帮助青年科研人员，之于科研方法也好，科学精神也好，学术道德也好。进一步，我觉得科学网之于大众的科普意义也是明显的，在诸如健康保健等等方面，是能帮助到普通老百姓的，特别在伪科学泛滥的今天，是相当有意义的。

由于下学期要做统计学的助教，所以这段时间能静下心重温统计的基本内容。

读书是一件奇妙的事情，每多读一次，就会有新的收获。特别是当自己埋头在概率论的世界里多时之后，重新学习统计学倒是一个有趣的过程。概率和统计的关系犹如唇齿，但看问题的角度却十分不同。以前自己也冷不丁的在博客里吹吹统计的牛，但还算有自知之明，尽力保持跟统计的距离。今天，趁着重读统计的热乎劲儿，老老实实的跟大家聊聊统计。

大致上，统计还是面向实际问题的。即便大批理论家的介入使得统计有的时候不免被折腾一番，但对于绝大部分人而言，统计的任务就是处理数据，这门学科还是非常讲求实用性的。而且，统计的故事并非总要跟概率论绑在一起。之所以现代概率成为了统计的基础，那只是因为它为统计提供了合理有效的理论依据。比如，统计最关心的是数据背后的“规律”，这个规律究竟是什么，应该如何刻画，其实困扰过很多人。而概率论彻底解决了这个困难：把观测到的数据视作样本值，而把数据背后的规律看成是“总体分布”，并用服从这个总体分布的某随机变量来表示该总体。从“数据”上升到“统计模型”，这是人类思想史上的一大跨越。

一般来讲，我是极力回避在自己的“介绍概率论”博客上写太多社会问题。不是没有社会责任感，而是觉得“写好概率”是我最应该做的。

近期，在科学网上有两个关乎我们国内博士切身利益的热门话题：

1、涨补助。

2、某某大学招聘明确要求海归博士。

这才忍不住想写点东西。

这些年，我学会了一件事，“明辨是非”是一件比较扯淡的事，尤其是面对社会问题的时候。李承鹏说中国足球，不是技战术问题，而是社会问题。同样，中国的教育、学术问题，也是实实在在的社会问题。我个人很反对在当下，对某个具体的社会问题定性，因为我觉得很难看清楚。社会不是一个点，而是一系列错综复杂的链。这条链的拓扑结构十分隐蔽。在这样悬乎的利益链条下，坏事可以随时变成好事，同样好事也会随时变成坏事。

作为一名标准的国内土鳖博士，我当然期望补助大涨，也很担心在未来求职过程中遇到被一棒打死的窘境。但想来想去，那些问题想不太清楚。比如人家大学说不定有苦衷；说不定那对于中国社会有积极的一面等等。正因“明辨是非”之困，我反倒觉得最应该做的，也是最值得做的，还是多读点书，多想些问题，多琢磨琢磨投稿以及其它相关学术规范方面的事情。我还是想借用谷超豪先生的那句话：“努力工作，就是一件值得骄傲的事情”。