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激辩猜想-7-天王评论
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Phil. Mag. 88, (2008) 3093-3095
对三维伊辛模型最近的猜想解的评论
Fa Yueh Wua,Barry M. McCoyb,Michael E. Fisherc*和 Lincoln Chayesd
aDepartment of Physics, Northeastern University, Boston, USA
bInstitute for Theoretical Physics, State University of New York, New York, USA
cInstitute for Physical Science and Technology, University of Maryland,MD, USA
dDepartment of Mathematics, University of California, Los Angeles, USA
*Corresponding author. Email: xpectnil@umd.edu
在最近发表在《哲学》上的一篇文章[Z.-D. Zhang, Phil. Mag. 87, 5309-5419 (2007)]中，作者发展了有关三维伊辛模型的不同性质的一个猜想解。这里，我们反对这个猜想以及指出导致猜想表达式的观点的缺陷。
伊辛模型[1]是一个著名的被很好地研究了的磁性模型。因为它显著的简单性，在超过八十年的时间里模型吸引了物理学家一致的注意。伊辛在1925年求解了一维模型。在1944年Onsager [2]获得零磁场下两维伊辛模型精确的自由能，在1952年杨振宁[3]计算了自发磁化强度。但是三维伊辛模型是个挑战，至今仍是个著名的没有被解决的问题。
在最近发表在《哲学》上的一篇111页的文章中，张[4]发展了有关三维伊辛模型的自由能和自发磁化强度的猜想的表达式。这里，我们表明猜想是错误的。
张[4]考虑在简单立方点阵上的最近邻三维伊辛模型：见他的方程(1)和(2) 以及相关的正文建立了标记，特别是三个耦合常数K=J/kBT, K'和K''。导致猜想的解的观点粗略地介绍如下：[1]
作者给出一个作为精确自由能的四重积分表达式，方程(49) [它在各向同性情况约简为方程(74)]。但是这个表达式包含没有被确定的未知的权重函数wx, wy和wz。观点然后跳到附录A，那里作者设定wx = 1同时用一个系列的平方根展开wy = wz：见方程(A2)。也是在附录中，作者显示这个系列的前11项展开系数可以被拟合，如方程(A2)所示，以至确保方程(74)再现由Guttmann和Enting [5]获得的自由能精确的高温展开已知的11项; 也见第5326页第1行。
几乎象是 “隐蔽条款”，作者然后设wy = wz = 0 —见第5326页第7行方程(50)之前—再在整个分析过程中使用方程(49) 的形式作为自由能的猜想的解并得到有关临界点等的结论。取wy = wz = 0的原因是作者在附录A称之为 “开端1” (第5399页)。在这个开端中，作者认为 (第5400页第7-9行) 平方根里的系列将变成负数使wy和wz为虚。因为虚量是“物理上无意义的”，所以wy和wz “总是为零” (第5400页)。
必须要强调，这个选择wy = wz = 0的观点是深深地缺陷。的确，从(A2)中的系列复制已知的高温展开的角度，我们知道选择wy = wz = 0将不能再现精确的高温展开。因而获得的表达式(49)和(74)不能是自由能的真解。同理，“推定”的临界点关系(见摘要等) 不可信。
对自发磁化强度，作者给出表达式(99) [在各向同性情况约简为方程(102)] 作为精确解。但这个表达式再一次地是由错误的选择wy = wz = 0得到的[见第5339页方程(86)下第4行]。这个错误的过程导致三维伊辛模型的磁化强度的一个临界指数beta=3/8。但这对二维模型也给出相同的指数3/8— 因为方程(99)在设定K'''=0或x4=1时退回二维。这很显然是错误的。因为我们从杨的精确解[3]得知二维指数是1/8。进一步，表达式(102)的展开，即1 - 6x8 - 12x10 - 18x12-…[见方程 (103)]，不能与简单立方点阵的自发磁化强度的精确的低温展开1 - 2x6 - 12x10 + 14x12- …相吻合[6]。
一个判定任何被建议的精确解的最重要的黄金原则是，它必须逐项与正确的高温和低温展开相符合。的确，在许多情况，包括三维伊辛铁磁体，这是一个数学理论的课题(见Sinai [7])。因为作者清楚地知道他的猜想的表达式失败于这个检验，他组装了一系列的原因为失败辩护。他声称检验在二维成立是因为“在二维情况我们非常幸运因为高温和低温展开都是精确的和收敛的”(8.2.3节, 第5382页, 第二段第13行)。为了解释猜想的自由能的失败，例如，作者辩称已知的精确的高温展开仅仅“在”无限大温度“及附近”成立— 见第5331页第1行, 第5406页(A13)下第4 行—所以，对有限温度我们必须使用权重= 0。这个任意地划分“无限大温度及附近”和“有限温度” 的观点是错误的。的确，这个建议与建立高温和低温展开的有限半径的普通的严格理论和对所有d>=2的热力学极限的精确表示是矛盾的[7]。
为了解释对二维自发磁化强度beta=3/8的错误预言，作者在4.2节争辩道，在相互作用参数空间存在一定的区域指数beta从三维的值3/8逐步变化到二维的值1/8。这个建议与已经很好地建立的临界现象和临界指数的理解矛盾，所以不可置信。为了修补方程(102)与精确的低温展开的不一致，作者声明“要求精确的表达式必须一项项地与所谓的精确的低温展开相等反映了一个虔诚的希望”：见第5377页8.2.2.节第一段。这个观点，如同上面指出的，与一大群长期建立的伊辛模型和更普遍的模型的严格结果矛盾[7]。
总结一下，张的自由能表达成四重积分的建议没有得到三维伊辛模型的解。特别地，猜想的表达式(74)和(99)，那里决定性的温度依赖的权重wy和wz 被设定为零，不能是精确解。进一步地，发展到这一步的观点没有被支持，因而不令人信服。我们的结论是，猜想的临界点Tc和临界指数等的一系列关系，包括那些在这里没有讨论的（如5.4节中的关联的真实范围）是错误的。
致谢：We are grateful to Professor Michael Aizenman for advice in connection with the reference listed below under [7].
参考文献
[1] E. Ising, Z. Phys. 31, 253 (1925).
[2] L. Onsager, Phys. Rev. 65, 117 (1944).
[3] C.N. Yang, Phys. Rev. 85, 808 (1952).
[4] Z.-D. Zhang, Phil. Mag. 87, 5309 (2007).
[5] A.J. Guttmann and I.G. Enting, J. Phys. A 26, 807 (1993).
[6] See, for example, J.W. Essam and M.E. Fisher, J. Chem. Phys. 38, 802 (1963) Appendix A.
[7] See: Ya. G. Sinai, Theory of Phase Transitions: Rigorous Results (Pergamon Press, Oxford, 1982) Chap. II;J. Glimm and A. Jaffe, Quantum Physics, 2nd Edn. (Springer-Verlag, New York, 1987) Chaps. 18, 20, et seq.; R.B. Israel, Commun. Math. Phys. 50, 245 (1976); M. Zahradnik, J. Stat. Phys. 47, 725 (1987).
[注：为了真实地反映这次论战的情况，我将伍法岳先生等人的评论全文翻译成中文，有翻译得词不达意的地方敬请伍法岳先生以及广大读者批评指正。
伍法岳先生等人的评论已经发表在Phil. Mag. 88, (2008) 3093-3095。请点击：
DOI: 10.1080/14786430802537738
评论也挂到了预印本库 http://arxiv.org/abs/0811.3876
预印本也见本博文的附件。]
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