伯努利家族在力学上的贡献

 

在18世纪世界科学史上，生活在欧洲大陆上的伯努利（Bernoulli）家族，发出耀眼的光辉。一般，科学史学者，大都把这个家族对科学的贡献，认为主要是对数学学科的贡献，所以把这个家族说成是产生大数学家的家族。把其中贡献显赫的科学家说成是大数学家。其实，这是不符合事实的，对他们的评价也是欠公允的。这个家族对整个世界科学的贡献是全面的，在数学、力学、天文，乃至生理学上，都有基础性的贡献。他们在整个世界科学史上，起着承前启后开辟科学新时代的作用。本文想从他们对力学上的贡献，作一点简单的回顾。

首先，我们需要简单介绍一下这个家族的情况。我们把这个家族中在科学上有杰出贡献的最优秀的成员的世袭表列在下面。

伯努利家族，原籍比利时安特卫普．1583年遭天主教迫害迁往德国法兰克福，最后定居在瑞士巴塞尔。这个家族在这个18世纪中，产生了许多出色的学者，青史留名的就有8位，而其中最为杰出的有三位。他们是雅各布第一•伯努利（Jakob Bernoulli ，1654–1705)，约翰第一•伯努利(Johann Bernoulli ，1667–1748)和丹尼尔第一•伯努利（Daniel Bernoulli ，1700–1782)。

 

为了下面叙述方便，我们不妨引用孟方明先生的一段现成的文字，粗略地把这三位的贡献介绍一下。

雅各布第一•伯努利的数学几乎是无师自通的。1676年，他到荷兰、英国、德国、法国等地旅行，结识了莱布尼茨、惠更斯等著名科学家，从此与莱布尼茨一直保持经常的通讯联系，互相探讨微积分的有关问题。1687回国后，雅各布担任巴塞尔（Basel）大学数学教授，教授实验物理和数学，直至去世。由于雅各布杰出的科学成就，1699年，雅各布当选为巴黎科学院外 籍院士；1701年被柏林科学协会（后为柏林科学院）接纳为会员。

雅各布在概率论、微分方程、无穷级数求和、变分方法、解析几何等方面均有很大建树。许多数学成果与雅各布的名字相联系。例如悬链线问题（1690年），曲率半径公式（1694年），“伯努利双纽线”（1694年），“伯努利微分方程”（1695年），“等周问题”（1700年），“伯努利数”、“伯努利大数定理”等。雅各布对数学最重大的贡献是概率论。他从1685年起发表关于赌博游戏中输赢次数问题的论文，后来写成巨著《猜度术》，这本书在他死后8年，即1713年才得以出版。

约翰第一•伯努利最初学医，同时研习数学。约翰于1690年获医学硕士学位，1694年又获得博士学位，其论文是关于肌肉的收缩问题。不久他爱上了微 积分。1695年，28岁的约翰取得了他的第一个学术职位——荷兰格罗宁根大学数学教授。10年后，约翰接替去世的雅各布接任巴塞尔大学数学教授。同他的哥哥一样，他也当选为巴黎科学院外籍院士和柏林科学协会会员。1712、1724和1725年，他还分别当选为英国皇家学会、意大利波伦亚科学院和彼得堡科学院的外籍院士。

    约翰是一位多产的数学家，他的大量论文涉及到曲线的求长、曲面的求积、等周问题和微分方程．指数运算也是他发明的．例如解决悬链线问题（1691年），提出洛必塔法则（1694年）、最速降线（1696年）和测地线问题（1697年），给出求积分的变量替换法（1699年），研究弦振动问题（1727年），出版《积分学数学讲义》（1742年）等。

值得一提的是，1696年约翰以公信的方式，向全欧数学家提出了著名的“最速降线问题”，从而引发了欧洲数学界的一场论战。争论无疑促进了科学的发展，论战的结果产生了一个新的数学分支——变分法。因此，约翰是公认的变分法奠基人。

约翰的另一大功绩是培养了一大批出色的数学家，其中包括18世纪最著名的数学家欧拉（Leonhard Euler，1707-1783）、瑞士数学家克莱姆（G.Cramer,1704—1752)、法国数学家洛必塔（G.F.L  Hospital,1661—1704），以及他自己的儿子丹尼尔和侄子尼古拉二世等。

丹尼尔第一•伯努利是约翰次子。也像其父一样先习医，1721年获巴塞尔大学医学博士学位，但在其家族的熏陶感染下，不久便转向数学，在父兄指导下从事数学研究，并且成为这个家族中成就最大者。1724年，他在威尼斯旅途中发表《数学练习》，引起学术界关注，并被邀请到俄国圣彼得堡科学院工作。同年，他还用变量分离法解决了微分方程中的“里卡蒂”方程的求解问题。第二年，25岁的丹尼尔受聘为圣彼得堡科学院数学教授，并被选为该院名誉院士。1733年，他返回巴塞尔，教授解剖学和植物学和自然哲学．丹尼尔的贡献集中在微分方程、概率和数学物理，被誉之为数学物理方程的开拓者和奠基人。他曾10次获得法国科学院颁发的奖金，能与之相媲美的只有大数学家欧拉。丹尼尔于1747年当选为柏林科学院院士，1748年当选巴黎科学院院士，1750年当选英国皇家学会会员．他一生获得多项荣誉称号。

作为伯努利家族博学广识的代表，他的成就涉及多个科学领域．他出版了经典著作《流体动力学》(1738年)，给出“伯努利定理”等流体动力学的基础理论；研究弹性弦的横向振动问题(1741～1743年)，提出声音在空气中的传播规律(1762年)。他的论著还涉及天文学(1734年)、地球引力(1728年)、湖汐(1740年)、磁学(1743、1746年)，振动理论(1747年)、船体航行的稳定(1753、1757年)和生理学(1721、1728年)等。

从以上简略介绍中，我们可以看出，他们在数学上的建树的确是重要的。牛顿莱布尼兹发明了微积分之后，把微积分真正拓广应用于自然科学，应当说就是这个家族的建树。而且1722年出版的约翰第一•伯努利的《积分学教程》是微积分方面第一本系统的教材，随后他们发展的变分法、微分方程、数理方程都是推进近代科学的基础性的工作。他们并且把微积分应用于几何问题，开辟了微分几何的领域。他们还是概率论的奠基人。

现在我们回到本文开始我们说要介绍他们在力学上的贡献的正题。为能够说清楚他们成就的意义，我们需要回顾一下在19世纪里，力学所得到的最为惊心动魄的成就。我想，人们总会同意以下三项重要进展的：这就是，以拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange ，1735-1813)和哈密尔顿（William Rowan Hamilton ，1805 –1865)为代表的分析力学的形成，以纳维（Claude-Louis Navier ，1785-1836)和柯西（Augustin Louis Cauchy ，1789 – 1857)、纳维和斯托克斯（George Gabriel Stokes，1819-1903）为代表的弹性力学、流体力学的连续介质力学的基本框架的建成，和以麦克斯韦(James Clerk Maxwell， 1831-1879)和波尔茨曼（Ludwig Boltzmann，1844-1906）建立的基于经典力学的统计力学的形成。

现在就让我们分别来讨论以上三方面的学术发展。

我们在本书的另一篇文章《经典力学发展的两条路径》中，说一条是沿动量的微商建立动力系统的路，这是以牛顿为代表的一条路径。到牛顿就已经发展成熟了。而另一条路径是考虑动能的微商来建立动力系统的路径，是从莱布尼兹提出活力的概念开始的。而约翰第一•伯努利恰好莱布尼兹有多年的交往，正是他继承了莱布尼兹的传统，并加以发扬，在1725年，他写的《新的力学或静力学》中，就比较准确地叙述了虚功原理，从而奠定了分析力学的基础。分析力学的另一方面的数学基础是变分法，而约翰第一，又是变分法的奠基人。变分法发展到成熟，是欧拉和拉格朗日完成的，欧拉又是师从约翰第一的。拉格朗日又是欧拉慧眼识英雄，1766年，欧拉被举荐到彼得堡科学院工作，他举荐拉格朗日到普鲁士科学院代替自己。所以可以说，伯努利家族，是分析力学发展的先行者，正是他们为分析力学发展准备了足够的条件，才有后来分析力学的成熟。

至于说到，连续介质力学的发展。首先要提到的是在简单条件下的连续体力学。这就是约翰第一发展的梁的平截面假定，开启了近代梁的精确理论的历史，至今我们称材料力学中的梁的理论为伯努利梁。丹尼尔建立的流体力学中伯努利定律，是流体动力学中，第一个重要定律。后来欧拉提出的理想流体力学的普遍方程，和讨论流体运动的欧拉观点，即，在不运动的坐标系中，来研究流体流动的观点。这些都为后来建立连续体力学的普遍方程奠定了基础。

至于说到，统计力学的发展。显然是得益于概率论的发展。而伯努利家族又恰好是概率论的奠基人。他们为统计力学奠定了数学基础。

从学术传统上来说。伯努利家族，可以说是继承了惠更斯和莱布尼兹的传统，在欧洲大陆开启了约束运动和能量守恒为主线的力学研究，为后来开启分析力学打下了基础。这也可以说为后来形成的以法国、俄罗斯和德国为代表的欧洲大陆学派的传统打下了基础。

最后应当一提的是，作为一个家族，出了这许多知名的科学家，实在是令人奇怪的现象。不过也不奇怪。在他们那个时代，没有像现在，有许多国家出经费资助的科学研究机构。那时，许多科学家还是主要从事别的工作，靠工作的收入维生，在工作之余进行科学研究的。那时，社会的信息交流也不方便，家族之内的信息交流就比和社会上其他人交流要方便多了。正好，这个家族有大学教授的职位可以维生，有稳定的经济来源。家族内部又有共同的兴趣，在这种交流中，产生了共同关心的研究问题，并且在相互启发下得到解决。这就使这个家族形成了一个稳定的科学研究集体。它犹如在20世纪里卡文提什实验室一样，为世界科学发展提供了许多重要的贡献。据记载，在他们兄弟父子之间讨论问题是十分认真的，有时甚至争得翻脸，在兄弟和父子之间引起不和。而且，为了争一项成功的发明权，有时也闹得不愉快。

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