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你真的会拆分整数吗

已有 5919 次阅读 2008-9-18 23:03 |个人分类:生活点滴|系统分类:生活其它| 趣味数学

你真的会拆分整数吗

现在幼儿园的小朋友就开始学习10以内的加减法了，老师教给大家加减的方法就是将一个数拆分与合成。例如，10可以拆分为9和1、8和2、7和3、6和4、5和5，等等。

在数论中，涉及到更为更多特别复杂的整数的拆分问题，成为数学的难点。例如，哥德巴赫猜想是“任何一个偶数可以拆分成两个素数”，到目前也没有得到证明。

数的拆分也带给我们许多趣味数学题和竞赛题，下面就举例介绍一些有趣的题目。

一、只有1

一道简单的问题是：用1、＋、×、（）的运算来分别表示23和27，哪个数用的1较少？要表达2008，最少要用多少个1？

我们先给出从1到15的表达式。

1=1,

2=1+1,

3=1+1+1,

4=(1+1)×(1+1)，

5=(1+1)×(1+1)+1,

6=(1+1)×(1+1+1),

7=(1+1)×(1+1+1)+1,

8=(1+1)×(1+1)×(1+1),

9=(1+1+1)×(1+1+1),

10=(1+1)×((1+1)×(1+1)+1),

11=(1+1)×((1+1)×(1+1)+1)+1,

12=(1+1+1)×(1+1)×(1+1),

13=(1+1+1)×(1+1)×(1+1)+1,

14= (1+1)×((1+1)×(1+1+1)+1),

15= (1+1+1)×((1+1)×(1+1)+1)。

把用1的个数写成数列，就是{1, 2, 3, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 8, 7, 8, 8, 8, ...}。

对于23，

23 = (1+1)×((1+1)×((1+1)×(1+1)+1)+1)+1，

1的个数为11。

对于27，
27 = (1+1+1) × (1+1+1) × (1+1+1)

1的个数为9。

对于2008这样的大数，要寻找表达式很困难。

我找到的表达式是

(((1+1)×(1+1)×(1+1+1)×(1+1+1)+1)×(1+1)×(1+1+1)+1)×(1+1+1)×(1+1+1)+1=2008

一共用了24个1，但是不是用了最少的1，证明起来有一定难度。

二、夫妻姓名

下面这道题出自斯坦福大学入学考试题。

有一天非常热，四对夫妇共饮了44瓶可乐。女士安喝了2瓶，贝蒂喝了3瓶，卡罗尔喝了4瓶，多萝西喝了5瓶。布朗先生和他的妻子喝得一样多，但是其他三位男士都比各自的妻子喝得多：格林先生是其妻的两倍，怀特先生是三倍，史密斯先生是四倍。请说出四位女士的姓。

在美国，妻子与丈夫同姓。解决本题的方法之一是解不定方程。下面我们换一种方法，就是整数的拆分。

44瓶可乐，减去女士已经喝掉的14瓶，还剩30瓶。先按照每个男士和女士喝得一样多，再减掉男士喝掉的14瓶，还剩16瓶。本题的实质是把16拆分成2、3、4、5中的某3个数的1、2、3。倍之和。

显然，5或者4的3倍加上2、3会超过16，3的3倍也不行，只有2的3倍是一个可行的数。

16去掉6后还剩下10。也就是要把10拆分成3、4、5中某2个数的1、2倍之和，结果就是2个3和1个4。

最后，我们得到的答案是

44=2＋3＋4＋5＋4×2＋3×3＋2×4＋1×5。

和题目描述的对比一下，就可以知道四位女士的姓名了：安·史密斯，贝蒂·怀特，卡罗尔·格林，多萝西·布朗。

用整数的拆分方法来解整数方程，也是一条好途径。

三、子女的年龄

题目的描述是这样的：一个经理有3个女儿，3个女儿的年龄加起来等于13，3个女儿的年龄乘起来等于经理自己的年龄，有1个下属已知道经理的年龄，但仍不能确定经理3个女儿的年龄，这时经理说只有1个女儿的头发是黑的，然后这个下属就知道了经理3个女儿的年龄。请问三个女儿的年龄分别是多少？为什么？

题目也可能变为：两个俄国数学家在飞机相遇。伊凡问：如果我没有记错的话，你有3个儿子，他们都多大了？艾格回答：他们的年龄乘积是36，年龄之和是今天的日期。伊凡思考了一分钟后，说：可是你并没有告诉我你儿子的岁数。艾格说：忘了告诉你，我小儿子的头发是红色的。伊凡回答：那就很清楚了，我知道你儿子的岁数了。伊凡是怎么知道艾格儿子们的岁数的？

这道题也很经典，难度不算太大，经常改头换面地出现在各类趣味数学书本中。因为解题过程不需要高深的数学知识，只涉及简单的加数拆分和因素分解，但要求缜密的逻辑性和足够的耐心。

我们把这些都列成表。在女儿猜数中，出现了两个相同的乘积36，导致判断困难，因此可以断定父亲的年龄为36；由于只有一个女儿的头发是黑的，去掉了两个小女儿同为2岁的可能性，结果因此就出来了，女儿的岁数分别是1、6、6。在儿子的猜数中，出现了2个相同的和13，导致了判断困难。由于只有一个儿子的头发是红的，排除了两个儿子同为2岁的可能性，因此结果也是三个儿子分别为1、6、6岁，当天日期为本月的13日。

和数	女儿1	女儿2	女儿3	乘积
13	1	1	11	11
13	1	2	10	20
13	1	3	9	27
13	1	4	8	32
13	1	5	7	35
13	1	6	6	36
13	2	2	9	36
13	2	3	8	48
13	2	4	7	56
13	2	5	6	60
13	3	3	7	63
13	3	4	6	72
13	3	5	5	75
乘积	儿子1	儿子2	儿子3	和数
36	1	1	36	38
36	1	2	18	21
36	1	3	12	16
36	1	4	9	14
36	1	6	6	13
36	2	2	9	13
36	2	3	6	11
36	3	3	4	10

四、从不知道到知道

有两个非常好的逻辑学家朋友P和S。他们在猜两个整数x、y.。已知1<x<y<99且x+y<100。P知道x与y的乘积，S知道x与y的和。

P说：我不知道这两个数。

S说：我知道你不知道。

P说：我知道了这两个数。

S说：我也知道了。

根据两人的对话，你能判断x与y到底是多少吗？

这是一道更加经典同时难度更大的趣味数学题，是精品中的精品。我们就来慢慢分析整个思维过程吧。

首先，两个乘数因子不能是两个不同素数的乘积，不然P就一定能知道两个数是多少。

我们先列出100以内所有的素数，2,3,5,7,11,13, 17,19,23,29,31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97。

我们可以用一个数表列出所有两个素数的和，凡是在表中出现的和都不该是两人要猜测的数的和。

于是，我们100以内还剩下的和有11、17、23、27、29、35、37、41、47、51、53、57、59、61、65、67、77、79、83、87、89、93、95、97。

34×17可以直接导出两数之和51、38×19 可以直接导出两数之和57，29×58可以直接导出两数之和87，31×62可以直接导出两数之和93，因此51、57、87、93可以排除。

由于53×6=106×3会导致两数之和超过100，因此数59、61、65、67、77、79、83、89、95、97也被排除在外。

剩下的和数的数列就是11、17、23、27、29、35、37、41、47、53。

我们继续进行。

此数是11吗？

因为24=3×8、28=4×7，S知道和为11，却无法断定出P。

此数是23吗？

76=4×19,112=16×7, S知道和为23，却无法断定出P。

同样，可以排除29、35、37、41、47、51和53这些数字和。

现在轮到17了。

S=17=2+15，P=2×15=5×6，导出S=11，11在可能的和数之列，被排除。

S=17=6+11，P=6×11=2×33，导出S=35，35在可能的和数之列，被排除。

S=17=7+10，P=7×10=2×35，导出S=37，37在可能的和数之列，被排除。

S=17=8+9，P=8×9=3×24，导出S=27，27在可能的和数之列，被排除。

现在只剩下S=17=4+13，P=4×13=52=2×26，导出S=28，不在上述的和数之列。

答案露出水面，这两个数是4和13。

简单的描述后面，是严谨的逻辑和繁琐筛选过程。出题者一定是真正的数学大师。然而，这道题到底源自何人，我不得而知。

表1 两个素数之和

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