中秋跑到百望山脚下，二傻、亚辉和我三个科学网该死的大民科喝酒，聊了半天的数和宇宙。其实说来说去就是两个数，一个是大家熟悉的圆周率π，一个是黄金分割数Ф即 。当时我说自然对数底e也很有趣，回来一查还真是。π和e都是超越数，黄金分割数Ф则不是超越数，是无理数。

 

先不说超越，先说说不讲理的。

 

黄金分割数Ф：

 

历史

由于公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，因此现代数学家们推断当时毕达哥拉斯学派已经触及甚至掌握了黄金分割。2000多年前,古希腊雅典学派的第三大算学家欧道克萨斯首先提出黄金分割。公元前300年前后欧几里得撰写《几何原本》时吸收了欧多克索斯的研究成果，进一步系统论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著。^[1]

 

算法

把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。其比值就是黄金分割数Ф。见图1-1：

 

生活中到处都是黄金分割。

 

人体中的黄金分割：

(1)肚脐：头顶－足底之分割点；

(2)咽喉：头顶－肚脐之分割点；

(3)、(4)膝关节：肚脐－足底之分割点；

(5)、(6)肘关节：肩关节－中指尖之分割点；

(7)、(8)乳头：躯干乳头纵轴上这分割点；

(9)眉间点：发际－颏底间距上1/3与中下2/3之分割点；

(10)鼻下点：发际－颏底间距下1/3与上中2/3之分割点；

(11)唇珠点：鼻底－颏底间距上1/3与中下2/3之分割点；

(12)颏唇沟正路点：鼻底－颏底间距下1/3与上中2/3之分割点；

(13)左口角点：口裂水平线左1/3与右2/3之分割点；

(14) 右口角点：口裂水平线右1/3与左2/3之分割点。

黄金矩形：

(1)躯体轮廓：肩宽与臀宽的平均数为宽，肩峰至臀底的高度为长；

(2)面部轮廓：眼水平线的面宽为宽，发际至颏底间距为长；

(3)鼻部轮廓：鼻翼为宽，鼻根至鼻底间距为长；

(4)唇部轮廓：静止状态时上下唇峰间距为宽，口角间距为长；

(5)、(6)手部轮廓：手的横径为宽，五指并拢时取平均数为长；

(7)、(8)、(9)、(10)、(11)、(12)上颌切牙、侧切牙、尖牙（左右各三个）轮廓：最大的近远中径为宽，齿龈径为长。

黄金指数：

(1)反映鼻口关系的鼻唇指数：鼻翼宽与口角间距之比近似黄金数；

(2)反映眼口关系的目唇指数：口角间距与两眼外眦间距之比近似黄金数。^[2]

知道为什么“蒙娜丽莎”美吗？因为面部基本符合黄金矩形。

（图片来自和讯：http://it.hexun.com/2008-08-12/108064802.html）

 

 

  

其他领域的黄金分割：

舞台上的报幕员并不是站在舞台的正中央，而是偏在台上一侧，以站在舞台长度的黄金分割点的位置最美观，声音传播的最好。就连植物界也有采用黄金分割的地方，如果从一棵嫩枝的顶端向下看，就会看到叶子是按照黄金分割的规律排列着的。在很多科学实验中，选取方案常用一种0.618法，即优选法，它可以使我们合理地安排较少的试验次数找到合理的配方和合适的工艺条件。^[4]

 

五角星上的黄金分割：

我们常见的符合黄金分割的一个图形是五星红旗上的五角星。见图1-3：

 

一个小的正五边形1被五角星2包在其中，而2又被另一个大的正五边形3内接，3又被4包含，4又被5包含……如此无限的包含和内接，可以得到一个美丽的分形图形。

容易得到，正五边形的每个顶角都是108 ，而正五边形内接五角星把每个内角三等分（很容易证明），亦即每个五角星每个顶角为θ=108 /3即36 =π/5。

个无理数，由一个超越数可以得到一个无理数，很有意思；那么，能不能用一个无理数来表示一个超越数呢？

你能够算出图中五角星嵌套五角星这样的一个镂空图形的维度么？

 

斐波那契数列：

提到黄金分割，不能不提斐波那契数列。

所谓斐波那契数列，是这样一堆数：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144…

这个级数的规则是，后一个数等于相邻的前两个数之和，即a_n=a_n-1+a_n-2,如21=13+8，34=21+13，等等。所以，这个其通项是:ƒ(1)=1, ƒ(2)=1,当n≥3时，ƒ(n)=ƒ(n-1)+ƒ(n-2)。

一个有趣的地方是，a_n-1²=a_n-2×a_n+（-）1，比如13²=169=8×21+1，21²=441=13×34-1。可以得到一个一般公式，a_n-1²=a_n-2×a_n+（-1）^n-2

 

兔子与斐波那契数列：

这个数列之所以称为斐波那契数列，是因为公元1202年，斐波那契的传世之作《算法之术》出版。在这部名著中，斐波那契提出了以下饶有趣味的问题：

假定一对刚出生的小兔一个月后就能长成大兔，再过一个月便能生下一对小兔，并且此后每个月都生一对小兔。一年内没有发生死亡。问一对刚出生的兔子，一年内能繁殖成多少对兔子？

如图，逐月推算，我们可以得到数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233。这个数列后来便以斐波那契的名字命名。数列中的每一项，则称为“斐波那契数”。第十三位的斐波那契数，即为一对刚出生的小兔，一年内所能繁殖成的兔子的对数。这个数字等于233。^[5]

 

鲁德维格定律

树木的生长，由于新生的枝条，往往需要一段“休息”时间，供自身生长，而后才能萌发新枝。所以，一株树苗在一段间隔，例如一年，以后长出一条新枝；第二年新枝“休息”，老枝依旧萌发；此后，老枝与“休息”过一年的枝同时萌发，当年生的新枝则次年“休息”。这样，一株树木各个年份的枝桠数，便构成斐波那契数列。这个规则就是生物学上著名的“鲁德维格定律” ^[5]。如图：

 

斐波那契数列与黄金分割

而这个斐波那契数列之所以和黄金分割有关系，是因为其相邻两个数的比值的极限是黄金分割数。

注意到：1/1=1,1/2=0.5,2/3=0.666…,3/5=0.6,5/8=0/625，8/13=0.61538…,可以看出，这个比值围绕Ф上下“振动”。

由于刚才得到的通项公式ƒ(n)=ƒ(n-1)+ƒ(n-2)是一个线性递推数列，利用线性递推

是不是很神奇？数学真是美得一蹋糊涂！

 

美丽的斐波那契图形

啥也不说了，直接看图吧： 

 

（以上三图来自：http://bzhang.lamost.org/website/index.php?p=137）

 

咦，星系、金字塔、人和花花草草都符合黄金分割，这说明什么呢？难道，黄金分割是天狼星人才能理解的，方脑壳（此处请模仿二傻用蹩脚的福建四川话念出）的地球人是不能理解的？

 

看下图（8、13、21正好是斐波那契图形中的相邻3项）：

 

正方形通过如图的变换变成了一个长方形，奇怪，怎么少了一个单位的面积？问题出在哪里呢？

 

为了证明地球人的方脑壳，先打打基础，后续长篇哦！！

你知道斐波那契数列中还蕴含着什么秘密吗？自然灾害，经济增长，人口问题，社会发展，都跟这个数列有关系哦！

请看另一个该死的大民科的大作：先知的预言斐波那契数列不为人知的惊世秘密。

 

[1]百度百科  黄金分割

[2]新浪爱问  为什么把0.618称为黄金分割数?

[3]百度贴吧  黄金分割数Φ在大金字塔中的体现

[4]百度知道  黄金分割数的来历?

[5]斐波那契提出的问题

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