來來先上上方看，眼界無窮世界寬。
岩溜噴空晴似雨，林蘿礙日夏多寒。
眾山迢遞皆相疊，一路高低不記盤。
清峭關心惜歸去，他時夢到亦難判。
—— (唐) 方干《題報恩寺上方》

千里倦游客，老眼厭塵煙。
蒸湘平遠，他處無此好江山。
把酒一听欸乃，過了黃花時節，水國倍生寒。
輸与滄浪叟，長伴白鷗閒。
傍江亭，窮杳靄，踞巉岩。
水深石冷，聞道別有洞中天。
待倩靈妃調曲，喚起馮夷短舞，從此問群仙。
云海渺無際，波涌緩移船。
—— (宋) 王炎 《水調歌頭》

上面这两首唐诗宋词，算不上太有名，但“众山迢递皆相叠”和“别有洞中天”写出了自然界存在的“自相似性”。自相似性的概念，最早是由耶鲁大学数学系教授Mandelbrot提出来的。1982年他出了一本书叫“The Fractal Geometry of Nature”，英文Fractal，中文通常译为“分形”，“分形”就意味着“自相似”，也就是说从整体到局部的各个层次上都有相似的结构。大自然中，除了前面提到的山外有山，洞中有洞外，还有雪花、闪电、以及曲折的海岸线等，都呈现某种程度自相似的特征。

让我们以一个简单的平面自相似图形为例，来看看分形几何和传统几何有何差别。这个图形依照下列步骤构成。首先，在平面上画一水平线段，假设其长度为三个单位，然后，把该线段三等分，以中间的长度为1的线段为底边向上作等边三角形，再删除该三角形的底边，得到一条由四个长度为1的线段组成的折线。接下来，在折线的每一条边上重复上述过程，无限重复下去，这个折线序列便趋于一条曲线，称为Koch曲线。图1给出了Koch曲线构造过程的前5步。在最后那个图中，设想每一个尖顶都是一个山峰，再设想你站在其中一个山峰上，放眼望去，是不是有“众山迢递皆相叠”的感觉？

Fig.1 Construction of the Koch curve

乍一看，会以为折线的总长度将收敛于一个有限的极值，因为Koch曲线直观看起来其长度是有限的。然而，略微仔细地算一下，就不难发现折线长度的序列是3，4，16/3，64/9，256/27，1024/81，……3×(4/3)ⁿ (这里，n = 0, 1, 2, ...)。当n趋向无穷时， 长度值也趋向无穷。这就是说，Koch曲线无限长！这也说明，无穷嵌套自相似结构的度量，是经典几何与传统数学方法所无法解决的。

如果我们从一个正三角形开始，在每条边上按上述方法形成Koch曲线，我们就得到了所谓的“Koch 雪花”(图2)。Koch 雪花面积有界而周长无限。不仅周长无限，周边上任一小段也是无限长。

一些建立在欧氏空间即整数维空间上的物理定义遇到了难题。比方说，当我们讨论流体在非圆形管内流动的问题时，我们会涉及水力直径这个概念，水力直径定义为流体流过的横截面面积和该截面被流体润湿的周边长度之比的4倍。假如这个管道的横截面是Koch 雪花的形状，又假定流体可以润湿整个周边，那么，水力直径等于零，那些涉及水力直径的公式全部失效。

自相似性本身不是我的工作范围，只因为它涉及广泛的领域，十几年前我偶然遇到了相关的问题。当时我参与一个涉及沉淀问题的小课题。沉淀物就有这种自相似性结构的，我们需要了解这种复杂的几何形状对该物体受到的流体的阻力有什么影响，而图2便是那时我们作计算时所考虑的几何形状之一。

Fig.2 The Koch flake used in J. Non-Newtonian Fluid Mech. 57 (1995)49-60

那项工作结束后，我再没有认真关注过自相似性，前两天谢柏松网友的一首诗让我重新想起它，那首诗的标题赫然在目：《自相似性结构着的嵌套》！读了那首诗，我就想到要用Koch曲线作一个配图，并借题发挥几句。

最后，把柏松网友的诗附在下面，大家一定会从中感受到一种重峦叠嶂的分形美。

附：自相似性结构着的嵌套

作者：谢柏松

两个铁轨同一方向
两条道路都不说话

石头是故乡的眼睛
默默地注视着河流

鱼在贬值着自己的梦
像一条不说话的河流

两个孩子就像那鱼
那鱼有两套平行语言

语言最终仍是石头
默默地注视着星空

星空像梦的眼神
圆圆地隐住地球

眼睛的铁轨向梦延伸
西方没有火眼大圣

尘土在空中渐渐散去
投影出一条重合的路

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