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有关循环小数的趣味数学题
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有一个专门为小孩催眠的故事是这样的：从前有座上，山上有座庙，庙里有个老和尚在给小和尚讲故事；从前有座上，山上有座庙，庙里有个老和尚在给小和尚讲故事；……
大人把这样的语句不断重复，没完没了，循环反复，一直到小孩进入梦乡。
本文的探讨内容是循环小数，就是小数点之后不断重复的数字串。
一、从几道数学题目说起
（1）0.523523523……如何表示成分数？
（2）不用转化成分数进行以下3个循环小数的加减运算：1.734734734……+0.2797979….－0.898989......=?
（3）我爱趣味数学×趣=趣味数学我爱
在算式中， 每个字代表不同的数字，计算出它们。
（4）正整数N除以7是个循环小数，从小数点右边第1位到第100位所有数字之和是451，求N是多少？
（5）请问，100以内有多少个正整数，其倒数恰好是有6位循环节的纯循环小数？例如，7和13的倒数都是具有6位循环节的纯循环小数。
（6）你能用家用计算器（一般是8位）或者WINDOWS提供的计算器（32位）算出5/97这个循环小数（循环节长度为96）吗？
（7）求一个最小的整数N，使其首位数字调动位置变为末位数字后，得到的新数M都正好为原数N的1/3。
这里面有些是中小学奥数题，有些是纯粹的趣味数学题。有些题的难度较大，有些题要花掉不少时间。这些题都与循环小数的性质有关。
二、循环小数的循环节
我们知道，在有理数范围内，小数里有限小数、纯循环小数和混合循环小数3种类型。无理数用小数表达是无限不循环小数。
在一个分数（这里的分数都是化简后的真分数）中，当分母中只有2或5这样的素数因子的时候，分数转换成的小数是有限小数。例如，1/2=0.5；1/125=0.008。
在一个分数中，当分母的分子只有除2、5之外的素数因子的时候，分数转换成的小数就是纯循环小数。例如，1/3=0.333……；5/21=0.238095238095238095.....
在一个分数中，分母中既有素数2或5又有其他素数因子时，该分数转化成的小数就是混合循环小数。例如，1/6=0.16666…；5/14=0.3571428。
本文主要探讨纯循环小数。
得到循环小数的办法是不断进行除法运算，直到最后的余数数字和开始这个数相等为止。
循环小数重复的数字称为循环节，重复数字的个数就是循环节的长度。
在100以内，除去2、5外的素数有3、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。
其中，素数7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97为分母的分数变成的循环小数的循环节长度满足素数－1。
以下是分子为1、分母为素数的分数转化成小数的循环节和循环节长度。
3：3，循环节长度为1.
7：142857 ，循环节长度为6。
11：09，循环节长度为2。
13：076923，循环节长度为6。
17：0588235294117647 ，循环节长度为16。
19：052631578947368421 ，循环节长度为18。
23：0434782608695652173913 ，循环节长度为22。
29：0344827586206896551724137931 ，循环节长度为28。
31：032258064516129，循环节长度为15。
37：027，循环节长度为3。
41：02439，循环节长度为5。
43：023255813953488372093，循环节长度为21。
47：0212765957446808510638297872340425531914893617，循环节长度为46。
53：0188679245283，循环节长度为13。
59：0169491525423728813559322033898305084745762711864406779661 ，
循环节长度为58。
61：016393442622950819672131147540983606557377049180327868852459
，循环节长度为60。
67：014925373134328358208955223880597，循环节长度为33。
71：01408450704225352112676056338028169，循环节长度为35。
73：01369863，循环节长度为8。
79：0126582278481，循环节长度为13。
83：01204819277108433734939759036144578313253，循环节长度为41。
89：01123595505617977528089887640449438202247191，循环节长度为44。
97：01030927835051546391752577319587628865979381443298969072164
9484536082474226804123711340206185567，循环节长度为96。
三、循环小数的运算和性质
下面给出有关循环小数的基本性质和运算规律：
（1）可以用1连续除以分母得到循环节的长度，也可以最小的10k-1整除分母来确定，k值就是循环节的长度。
例如，9能整除3，1/3的循环节长度为1；99能整除11，1/11的循环节长度为2。
（2）把一个循环小数转化为分数的办法就是就是用循环节除以10k-1，这里k为循环节的长度。
例如，把0.3434……转化为分数就是34/99。
（3）在分母为某个素数P的分数中，循环节的长度要么是p-1个，要么是p-1的因子数。
例如，1/7的循环节长度为6个，因为7-1=6；1/13的循环节长度为4，因为13-1=12=3×4。
（4）在分母为若干个不同素数相乘的分数中，循环节的长度为这些以这些素数为分母的分子的循环节长度的最小公倍数。对于分母为素数P的N方次的，循环节长度等于分母为p的循环节乘以p的（N-1）次方。
例如，1/13的循环节长度为6，1/7的循环节长度为6，1/91的循环节长度也为6。
1/7^2，因为1/7的混环节为6，故1//7^2的循环节长度为6乘以7即42。
（5）把长度为偶数的循环节，分成两部分，两部分相加得到999.....。
例如，1/7的循环节为142857，分成142和857两部分，相加得到999。1/23的循环节为0434782608695652173913，分成04347826086和95652173913两部分，相加得到99999999999。
（6）m/p（m小于p）的循环小数与(p-m)/p的循环小数相加等于0.999….,也就是等于1。
四、对问题的解答和说明
（1）对小数0.523523523……的争论在于，循环节是到底是523，还是235，或者是352。
如果把它转化成分数，我们能够看出争论是没有意义的。
循环节是523，则分数直接表示为523/999。
循环节是235，则分数表示为5/10+235/9990=523/999。
循环节是352，则分数便是为52/100+352/99900=523/999。
（2）可把把循环小数转化为分数，再进行加减.
1.734734734……+0.2797979….－0.898989......
=1+734/999+2/10+79/990－89/99
该分数的加减需要通分才能完成。
如果不把循环小数转化成分数，能够向有限小数那样进行加减吗？
答案是肯定，不过需要在确定循环节的长度后对位相加。题中3个小数的循环节长度分别为3、2、2，循环节长度的最小公倍数为6，因此得数的循环节长度也为6；需要把3个循环小数的小数点后13位对准后相加减，得到答案。
结果=1.138774138774.....
（3）我们注意到
1/7=0.142857; 2/7=0.285714
3/7=0.428573; 4/7=0.571428
5/7=0.714285; 6/7=0.857142
这刚好是1、4、2、8、5、7这6个数字的循环。7的这个有趣的特征经常出现在趣味数学中。
对照算式
我爱趣味数学×趣=趣味数学我爱
我们得到，
趣=2，味=8，数=5，学=7，我=1，爱=4。
（4）因为1/7的循环节是142857，循环长度为6，数字之和为27，那么小数点后前96位有16个循环节，其数字和为432，与451相差19。也就是第97到第100位的4个数字和为19，为4、2、8、5相加。
对照一下3/7的循环节，就得到这个正整数是3。
（5）在100以内的素数中，3、7、13的循环节分别为1、6，故7、13、3×7、3×13、7×13的循环节都是6.因此，以7、13、21、39、91这几个数的为分母的分数化成的循环小数循环节为6.
数字不多，我们不妨一一把它们计算出来：
21：047619
39：025641
91：010989。
（6）只要有耐心，用纸笔也能够算出任何一个素数的循环节，更别说用计算器了。如果家用计算器是8位，去掉0和小数点占的位置后，能够显示小数点后6位。
第一步，我们先记录小数点前4位，这就是循环小数的第1到4位；
第二步，然后用这4位数乘以除数，与被除数相减，则得到余数。用余数（取整数）除以被除数，仍记录前4位，就得到循环小数的第5位到第8位。
第三步，重复上述除法，直到余数为1为止；或者直到记录的小数与前几位重复为止。
用8位家用计算器，需要计算25次，才能得到1/97的循环节。如果用WINDOWS提供的计算器，只需要4次计算，就能得到1/97了。
（7）我们这个最小的整数N共有m位，首位数字为n，去掉首位后形成的数为X。
N=n*10m-1+X （避免与X混淆，这里用*表示乘号。）
首位数字调动位置变为末位数字后，得到的新数M
M=10*X+n
由于M=N*1/3
30X+3n=X+ n*10m-1
X=n*(10m-1-3)/29
根据循环小数，1/29有28个循环节，999…9（28个）能够整除29。
可以看出，7*99…9（28个9）除以29就是X的最小值。
最后，利用29的循环节，得到一个28位数：
X=2413793103448275862068965517
我们所求的数为
N=7241379310344827586206896551
结果有些出乎意料吧。
五、继续一些关于循环小数的趣味题
好吧，作为练习，你用上述的有关循环小数的知识和自己的小小计算器解决下面这些题。
（1）根据数字全是9的素数因子分解，说出1/137、1/4649、1/9091、1/9901、1/21649、1/333667、1/513239的循环节长度。
93×3
99 3×3 ×11
9993×3×3 × 37
9999 3×3 ×11×101
999993×3 × 41× 271
999999 3×3×3 × 7 ×11×13× 37
99999993×3 × 239 × 4649
99999999 3×3 ×11× 73×101×137
9999999993×3×3×3 × 37 × 333667
9999999999 3×3 ×11× 41× 271× 9091
999999999993×3 × 21649 × 513239
999999999999 3×3× 7 ×11× 13 ×37× 101 ×9901
（2）制作一个快速简易计算1/19到18/19的循环小数的循环轮。
快速简易计算1/7到6/7的循环轮如下。
外圈的分子数对应内圈的小数的首位。
1/7的循环轮
（3）用家用计算器计算出6/49的循环小数。
（4）求一个最小的整数N，使其首位数字调动位置变为末位数字后，得到的新数M都正好为原数N的3/10。
（5）计算1/91^2的循环节长度。
轻松驿站
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