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(中国石油大学(华东) 工程力学系,青岛 266555)
文 摘: 列举了自然界中的种种现象以证明最小作用量的普适性。同时运用最小作用量原理阐述了表面浸润现象的本质,并指出能量提法与微分提法对于浸润现象的等价性关系。运用最小作用量原理合理地解释了诸如荷叶的超疏水、水黾水面的自由跑跳、液滴的定向运动以及毛细粘附等物理现象。本文也对最小作用量原理的哲学意义作了一些探讨。
关键词:表面浸润,超疏水状态,最小作用量原理,哲学意义
Liu Jianlin*
*(Department of Engineering
Abstract: In this paper, a lot of natural phenomena are presented to show the universality of the principle of least action. The essence of surface wetting is illustrated by the principle of least action. At the same time, the energy formulation and differential formulation are proved to be equivalent for surface wetting phenomenon. Some physical phenomena are explained by the principle of least action, such as super-hydrophobic state of the lotus leaf, jumping on water of the water strider, directional motion of the liquid drop and capillary adhesion. Some philosophical meanings are also discussed in this paper.
Key words: surface wetting; super-hydrophobic state; principle of least action;philosophical meaning
大自然经过亿万年的演化,其景象宛若鬼斧神工,浑然天成,一些奇妙的现象令人叹为观止。物竞天择,适者生存,生物体的诸多性能经过长时间的优胜劣汰已经达到近乎完美的程度。许许多多的生物经过长期的进化而拥有神奇的浸润性能以确保它们能够更好地生存。例如,下雨过后荷花的叶子上面晶莹透明的雨珠滚来滚去,从而容易带走灰尘污染物,所以有诗人“莲出淤泥而不染”的赞颂,而科学家则称之为“莲花效应”或者自清洁效应[1, 2]。唐代大诗人韦应物在《咏露珠》中吟道:“秋荷一滴露,清夜坠玄天;将来玉盘上,不定始知圆。”更是形象地描述了圆形的露珠在荷叶表面上的不浸润、具有极大接触角的现象。另外可能更令我们感到惊讶的则是一种叫做水黾的小动物,它们能够在水面上自由自在地奔跑和跳跃而不被水所浸润,这种“水上漂”的本领只能令我们人类望洋兴叹!所以英国作家Hilaire Belloc[3]对此发出了由衷的惊叹:“它在水面漫步,显得那么轻盈、敏捷、悠闲、逍遥,它使人们的奔跑为之逊色;又令你不由得目瞪口呆……”而与此相反,其它一些动物由于生存的需要却很容易被水所浸润,例如纳米比亚沙漠中的一种甲壳虫利用其表面的微结构吸收雾滴而存储水分[4],而德克萨斯角蜥可以利用其布满全身的毛细管直接从潮湿的泥浆里吸水[5]。
上述生物产生特殊的浸润性能的原因在于它们能够合理地利用表面张力。而表面张力引起的各种现象在自然界、工农业生产和我们的日常生活中处处可见,数不胜数。如下雨过后蜘蛛网上面形成的一串串亮晶晶的水珠,常常会引发无数诗人骚客的遐思妙想。我们也可以看到一根比水重的针可以很容易地浮在水面上,而附在铁丝圈上的一块肥皂膜尽量绷紧以减小它的面积。另外,据世界上最权威的科学杂志《nature》报道[6],将两束头发浸没在液体中时,头发形成多层次、多级的粘附结构。而类似的多级结构在自然界中也是无处不在的,例如动物骨头的宏、微、纳观跨尺度结构,树木、河流的分枝分叉现象,人体内毛细血管的树枝状分布等。
关于表面浸润的这些神妙的自然现象千奇百怪,千变万化,但是万变不离其踪,任何表象都有其内在的物理根源,即它们都是由表面张力或者毛细力引起的,都满足自然界和谐统一的法则。如何从纷繁杂乱的现象中揭示其内在的机制,则需要利用力学中的法宝:最小作用量原理。
最小作用量原理是从对自然界行事简单性的观察中发展而来的。古希腊哲学家在考察自然现象时就已经认为自然界总是有根据地去做她的事情,并在所有的行动中选择最短或最容易的路线。随后,亚里士多德提出了等周问题,欧几里德提出了光传播的最短路径原理。而伽利略、达芬奇、普朗克、庞加莱等都认为自然界是最经济的,即自然界不仅避免多余的努力,而且避免那些足够但不是绝对必需的努力。正如伽利略所言:自然界总是习惯于使用最简单和最容易的手段行事。而达芬奇则认为:自然界总是以最简洁的方式行动[7]。
费马提出的极值原理是最小作用量原理成功应用的第一个范例,它指出:光经过两种介质的界面时,无论是发生发射还是折射,光总是沿用时间最短的路径运行。对于这种特性,著名物理学家波恩曾给出一个生动的比喻:“光运动起来就像一个必须到达确定目的地的疲倦的报童,仔细地选择着最短的可能路径。”费马原理只是最小作用量原理的一个特例,但是它简洁、优美的形式和对光现象的高度概括暗示着某种更普遍的原理存在的可能性。
科学的发展表明,对于自然界中那种富有意义的秩序,我们必须从自然规律的数学核心中去寻求它的根源。经过大数学家伯努力、莱布尼兹、牛顿、欧拉、拉格朗日等人的努力,变分法形成了系统的理论体系,为最小作用量原理的进一步发展提供了理论支持。在此基础上,法国著名科学家和启蒙思想家莫泊丢提出了静力学中的普遍定律并将之推广到动力学中,从而享有“有最小作用量原理之父”的美称。莫泊丢坚信自然界行为的简单性,而这种简单性正是通过某个称为“作用”的量的最小化而展示出来的。正如他自己所断言:“建立在这个原理之上的运动学与静力学定律,应当与自然界所观察到的现象相吻合,我赞颂这一原理对一切自然现象的普适性,动物之运动,植物之生长,星体之运行,都不过是它的推论而已。”
拉格朗日在其专著《分析力学》中严格证明了最小作用量原理和牛顿运动方程的等价性,但是最小作用量原理允许我们从所有可能的运动中挑选出真实的运动,这些工作被哈密顿誉为“一首数学的诗”。拉格朗日的体系是对牛顿的力学体系的扩充,而哈密顿在此基础上又提出了革命性的新的理论体系。哈密顿原理指出:力学系统在给定时间的一切可能运动中,使哈密顿作用量(主函数)取极值的运动才是真实发生的运动。通过广义坐标和广义动量,复杂系统的牛顿运动方程变换成了一套简单而对称的方程,从而把动力学推向了其发展的顶峰。哈密顿原理所体现的科学美的风格及方法论特色有着极为重要的启发意义,它也是经典力学通达量子力学解释的重要形式,包含了光学与力学间的启发性类比,这在量子力学的创立者德布罗意和薛定谔的工作中再度复兴并得到进一步的发展。从此最小作用量原理被物理学家看作物理学的最高原理,由此去导出经典物理学的全部理论,这正是19世纪后期理论物理学发展的新风尚。另一方面,沿着哈密顿所阐发的光学–力学类比,今天已建立了一套新的类分析力学的光学——哈密顿光学。最近,大连理工大学的钟万勰院士将弹性力学纳入到哈密顿辛对偶体系中,建立了一套求解框架。
最小作用量原理是自然界普遍存在的基本法则,自然界中的现象都遵守这一原理,所以它被认为是“上帝创世的秘密”。仔细观察自然界的各种现象,我们会发现,极值问题是十分普遍的。自然形成的河流的走向似乎是复杂和无规则的,然而认真的研究发现,真实的路线一方面总是趋于消除能量损失的过于集中,另一方面趋于把总能量的损失减小到最低限度。将一根两端固定的悬链,让其自由下垂,其形状将使得系统的重心最低。而我们躺着比站着时感觉舒服,也是重心较低从而使总势能最小的缘故。观察猫在寒冷的夜晚睡觉的姿态,会发现它的姿势尽可能减小表面积,从而减少散热;而夏天它会采取另外一种姿势以最大限度地散热。美观实用的蜂巢也符合最省料的原则,令我们不得不为其高超的建筑天才而发出由衷的赞叹。正如《天方夜谭》中的蜜蜂所说:“我的房子是按照一种最严谨的建筑学规则建筑的;欧几里德本人可以从研究我的巢室的几何学中学到东西。”再如长期生长在干旱地区的植物叶子表面坚硬而厚实,以至于趋于球形或圆锥形,可以减小表面积而减少水分蒸发。水分充足地区的植物其叶子薄而面积大,可以大量蒸发水分。植物的种子一般都近于圆形,可以在较小表面积下占有尽可能的体积来存放养料。除此之外,在电路中,电流是按照其产生的焦耳热功率为最小的方式来分配的。即使在微观领域,基态原子的核外电子排布遵从的重要原则之一便是使原子系统的总能量最低。热学系统则自发地趋于熵最大的状态[7]。
对于最小作用量的普遍性,大数学家庞加莱曾概括过:“作为普遍的原理,最小作用原理和能量守恒原理具有极高的价值,他们是在许多物理定律的陈述中寻求共同点时得到的,因此,它们仿佛代表着无数观察的精髓。”而被誉为“德国物理学宰相”的亥姆霍兹则精辟地评述到:“最小作用量原理的有效性远远超出了有质物体的力学范围。在这种意义上,它可能是关于自然界中一切可逆过程的普遍定律。无论如何,在我看来由于最小作用量原理在各种情况下的普遍有效性,可以有把握地说,作为我们探求新现象的物理规律时的一个有启发性的原理和向导,这一原理具有很高的价值。”从这些评述中和对自然现象的观察中我们发现,每当过程的实现有一种以上的方式可供选择时,自然界总是取那种其时间和能量之积为最小的方式,这是普遍存在的真理。对于自然界中的表面浸润现象同样也可以从最小作用量原理来寻求合理的解释,诸如荷叶的超疏水效应、水黾的水上漂本领、锥形管中液滴的定向运动以及毛细粘附的多级结构等都可以用最小作用量原理获得圆满解释。
自然界中较小的液滴总是尽可能地趋于球形,以达到最小的表面积,从而具有最小的表面能。而体积比较大的液滴则像一个稍稍压扁了的球,这是由于水滴的总势能包括表面能和重力势能两部分,而表面张力使液滴尽可能趋于球形,重力势能则尽可能使其重心降低。于是液滴最终的形状为表面能和重力势能之和为极小的状态。对于光滑固体表面上的一个液滴也可以作类似分析。其总势能包含重力势能以及固/液、固/气、液/气的表面能,对此总势能进行变分运算可以推导出来相应的欧拉-拉格朗日方程,此处称为拉普拉斯方程:
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