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Alice的数学(2)

已有 6628 次阅读 2009-8-12 09:02 |个人分类:物理|系统分类:科研笔记

 
De Sitter空间
 
空间和时间的问题本来属于哲学的势力范围,后来被物理学侵占了一部分,但两家争论不清,又只好割让一块给数学,所以现在基本上是一个数学问题。可数学的回答也令人烦恼。正像奥古斯丁感叹的,时间问题,不说还明白,越说倒越糊涂了。我们听听爱丽丝和伙伴儿们的对话,会发现小朋友们竟然已经很直观地感觉到了时空的奥妙。
 
下面的一段故事见Alice’s Adventure in Wonderland第七章,“疯狂茶会”(A Mad Tea-Party),主要“人物”是爱丽丝和茶会的三个主人:帽匠(Hatter)、三月兔(March Hare)和朵儿鼠(Dormouse)。爱丽丝发现兔儿的怀表很奇怪,“它告诉几月几日,却不说几点。” 
 
“为什么要告诉几点呢?”帽匠嘀咕着,“你的表告诉你哪一年吗?”  
“当然不,”爱丽丝很快回答,“可在很长的时段里,年是不变的呀。”  
“我的表不报点也是一样的道理。”帽匠说。 
 
所谓“帽匠”,据好事者考证,可能是Carroll熟悉的一个喜欢戴高帽子的家具商。Carroll爱玩儿文字游戏,大概先借了现成的“mad as a March hare”(下面要说兔儿疯过),然后想到习语As Mad as a Hatter——本该是As Venomous as an Atter。但更有趣的是,Tenniel的插图把帽匠画得像大哲学家罗素(Bertrand Russell)——很抱歉,在“Alice的数学(1)”里,我随便选了一幅插图,它应该是这一段的,现在移过来了——控制论的创始人维纳(Norbert Wienner)在自传《昔日神童》(Ex-Prodigy)里说,“除了说罗素像那个疯狂的帽匠,再没有什么可以描述他的了……Tenniel的漫画简直表现了艺术家特有的超前眼光。”维纳还说,三月兔和朵儿鼠也像罗素的两个追随者,他们三位组成了剑桥有名的“疯狂的三一茶会”。(为《科学美国人》写趣味数学专栏的Martin Gardner为Alice写了详尽的注释和考证,见The Annotated Alice。)  
 
回头来看对话,帽匠说的是他们的“local time”,钟点比爱丽丝的年月还漫长。这情形会发生在强引力场(如黑洞)附近,这是一个简单的相对论效应。如果我们的钟表足够精确,二楼的时间与一楼的时间都会显出差别来。其实,现在通行的GPS定位,也需要考虑相对论的时间膨胀效应。
 
接下来的对话更有趣,兔儿的钟点竟然是凝固的:  
 
爱丽丝轻轻叹一声说,“我认为你该珍惜时间,像这样出个没谜底的谜语,简直是白白浪费那东西。”  
“如果你像我一样熟悉时间,”帽匠说,“你就不会叫它‘那东西’,而叫它‘伙伴儿’了。” 
“我不懂你的意思。”爱丽丝说。  
“你当然不懂,”帽匠得意地晃着头说,“我敢肯定你从来没同时间说过话。” 
“也许没有,”爱丽丝小心回答,“可我学音乐的时候,总是按它打拍子的。”  
“难怪呢!”帽匠说,“他可受不了挨打。如果你同他好,他会让表听你的话,譬如说,现在是早上九点,正是上学的时候,你只要悄悄对他说,表就会一下子转到一点半,该吃午饭喽!”  
(“真那样就好了。”三月兔嘟哝着。)  
“那一定是好的了!”爱丽丝思索着说,“可那个时候,你知道,我还不饿呢。”  
“开始可能不饿,”帽匠说,“但只要你喜欢,你可以老让表停在一点半呀。”  
“你就是这样做的吗?”爱丽丝问。  
帽匠伤心地摇摇头,“我可不行了,”他回答,“我们三月份吵架了——就在他(用茶匙指着三月兔)发疯前……从那以后,时间就不听我话了!老停在六点钟。”  
爱丽丝的脑子突然一亮,问:“那就是这儿有这么多茶具的缘故吧?”  
“可不是嘛,”帽匠叹息着说,“老是喝茶的时间,连洗茶碗儿的工夫儿都没有了。”  
 
“凝固的”时间,在许多文艺作品都出现过,例如喜剧Groundhog Day(中译《偷天情缘》),每天都是土拨鼠日(2月2日)。我们平常也向往,“唉,要是每天都是星期天就好了!”
 
兔儿的“超时间”,隐含着宇宙学的趣味。Arthur Stanley Eddington在他的《空间、时间和引力》里,就把他们的“疯狂茶会”与de Sitter空间联系起来了。
 
de Sitter空间(dS)是荷兰天文学家Willem de Sitter在1917年得到的,它是真空的爱因斯坦方程的解,具有正的宇宙学常数(它可能是暗能量或暗物质),具有最大对称性(像球一样),描写加速膨胀的宇宙。(《爱因斯坦全集》第六卷收录了De Sitter与爱因斯坦的相关通信。)它是一个超双曲面,每一固定时刻的截面是一个三维球面S3。这样的空间的拓扑是R × S^3 (对比一下:R × S是普通的圆柱面。)球面从无限的过去收缩而来,在“零时间”达到最小,然后向未来无限膨胀。兔儿们凝固在一个三维球上,所以他们自觉地围着桌子转圈儿,倒是颇具物理心眼儿。(关于经典dS的数学性质和物理意义,比较方便的是参考霍金《时空的大尺度结构》第6.2节;它在超弦理论和量子引力中的角色就需要读新近的论文了。)
 
1998年,天文学家发现宇宙在加速膨胀,将来可能变成半径为10 ^60个普朗克长度的dS,所以这个老态龙钟的空间如今成了物理学的新宠,这恐怕是De Sitter和爱因斯坦都不曾想到的。另外,dS和AdS(反dS空间)有许多奇妙的特征,超弦理论需要拿它们做“实验”——当我们没有手上的工具时,就借头脑里的工具,用数学的“玩具”来代替机器,这是当今物理学的时尚,也是无奈。 


Sir John Tenniel为Carroll的Alice画的插图 ,你看那个戴高帽的伙计像不像罗素? 
(http://woomeover.com/blog/wp-content/uploads/2008/10/alice-lewis-carroll.jpg) 
 


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