关于“数学”的对话（12）

（接（11））

甲：我们可以具体看看：无穷项级数与其极限值的“相等”，也是必须注意有这个“无穷项”条件的。

乙：是啊！应该举几个实际的例子来说明。

甲：这种实例很多，我们就看看利用泰勒公式把一些重要的函数展开成的无穷项级数吧！

乙：泰勒公式就是：f(x)=f(a)+(x-a)f’(a)/1! +(x-a)^2f”(a)/2!+…，吧？

甲：是的！当a=0.，就得到麦克劳林公式：

f(x)=f(0)+ xf’(0)/1! +x^2f”(0)/2!+…，

乙：啊！这就能把f(x) 展开成的x的无穷项幂级数了。

甲：例如，对于函数e^x,就有：

f(x)= f’(x)= f”(x)=…=e^x，

f(0)= f’(0)= f”(0)=…=1，

乙：啊！这就得到了函数e^x的无穷项幂级数：

    e^x=x^n/n!,n由0到无穷求和。

甲：当取x=1, 这就得到了e值的无穷项级数表达式：

e=1/n!,n由0到无穷求和。

乙：由此，已可看到当取n=10时，e只能准确到6位小数：

e~2．7182819（最后一位，9，已不准确），

只有n趋于无穷，才能得到e的精确值。

甲：也只有n趋于无穷，才能得到函数e^x的精确值。

    否则，就只能是一定精确度的近似。

乙：有个欧拉公式，将函数e^(iA)表达为实、虚两个3角函数表达：

e^(iA)= cosA +isinA,  e^(-iA)=cosA -isinA,

这个公式的两边就应是严格地相等吧？

甲：是的！这个公式两边都是有限的项，无须相等的任何条件，就应是严格

地相等的！

乙：这个欧拉公式，联系起e^(iA)函数和3角函数，这两种重要的函数，确实很

有用处。它是如何得到证明的呢？

 

甲：这就还是要利用泰勒公式。

乙：这个欧拉公式涉及复数，还能利用泰勒公式吗？

甲：当然，利用泰勒公式已证明了多种涉及复数的函数。例如：

   由e^x=x^n/n!,n由0到无穷求和，

当取x=iA，即得：e^(iA)=(iA)^n/n!,n由0到无穷求和。

又有3角函数与双曲线函数：

siniA = iA -(iA)^3/3!+(iA)^5/5!-…+(-1)^(k-1)(iA)^(2k-1)/(2k-1)!+…。

cosiA =1-(iA)^2/2!+(iA)^4/4!-…+(-1)^k(iA)^(2k)/(2k)!+…。

sinh(iA)=(iA)+(iA)^3/3!+ (iA)^5/5!+…+(iA)^(2k-1)/(2k-1)!+…。

cosh(iA)=1+(iA)^2/2!+ (iA)^4/4!+…(iA)^(2k)/(2k)!+…。

乙：啊！因有；sinh(iA)=isin A;  cosh(iA)=cos A,

    而有：

e^(iA)=cosh(iA)+sinh(iA)=cosA +isinA,

e^(-iA)=cosh(iA)-sinh(iA)=cosA -isinA,

这就证明得到了欧拉公式。

甲：还应看到：

e^(iA)，cosh(iA)，sinh(iA)，cos(iA) ，sin(iA)，各函数都是表达为无穷

项幂级数的形式，因而都必需趋于无穷的项，才能趋于各相应的函数，否则，

就只能是有一定精确度的近似。

但是，由它们证明得到了欧拉公式，就因消去了必需趋于无穷项的条件，

而成为严格地相等的！

乙：这就更加表明：区分等号“=”两边“趋于”与“等于”的差别，弄清

其差别及转变的条件，的重要性。

甲：当A=派（180度），由欧拉公式还可得到重要的关系式：

e^(i派)=cos派+isin派=-1+0，  e^(i派)+1=0，

e^(-i派)=cos派-isin派=-1-0，  e^(-i派)+1=0，

       以及：

e^(i派)+e^(-i派)=-2，

e^(i派)-e^(-i派)=0，

（未完待续）

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