他用了12年，攀登一个缓坡；呕心沥血，只为解一个方程。
他，就是破解了困惑水波界近半个世纪的缓坡类方程的广西民族大学教授刘焕文。
缓坡方程是线性水波理论中最有用的方程，其雏形最早由美国加州大学学者伊卡特于1951年建立。
1972年，荷兰德尔夫特理工大学学者贝克霍夫导出了另一个低一维的偏微分方程，被水波界公认为缓坡方程的经典形式。
但近半个世纪以来，缓坡方程一直以“隐式”形式示人，即相应偏微分方程的系数为空间变量的隐函数。
让缓坡方程“变脸”
近日，一篇发表在国际学术期刊《工程数学杂志》的论文——《分片单调与分片光滑海底地形上波浪散射的显式修正缓坡方程》引发了水波界的高度关注。
论文通过引入一个特殊的数学变量替换，即利用具有实际物理意义的波谱变量替换原方程中的空间坐标自变量，第一次实现了缓坡类方程由“隐式”到“显式”的质的转变，使该方程中未知函数与方程自变量之间的关系一目了然。
而这篇论文的主要作者之一，正是刘焕文。
缓坡方程的“变脸”，使求缓坡类方程解析解这个困惑了水波界近半个世纪的问题变得简单可行。
随后，刘焕文课题组针对这个“变脸”后的“显式”方程，给出了波浪与不同海底或近海结构物相互作用的6个解析解，分别发表在《波浪运动》、《海洋工程》、《工程数学杂志》等期刊上，得到了国际水动力学界和近海工程界的广泛认可。
这些成果，不仅揭示了波浪在一些变水深地形上的作用机理，也为工程中广泛使用的数值分析软件提供了准确的验证标准。
“显式”修正缓坡方程的建立及其系列精确解析解的获得，是数学、力学与工程跨学科“杂交”的结晶，也源于刘焕文敢于挑战难题的勇气和甘愿坐冷板凳的持之以恒。
挑战水波难题
半个世纪以来，经过众多学者的改进，缓坡方程已被扩充为一个缓坡类方程家族，包括修正缓坡方程、扩展缓坡方程和弱非线性缓坡方程等等。
尽管缓坡方程应用广泛，针对各类实际问题的数值解为数众多，但在水波界、水动力学界和近海工程界，学者们普遍认为，要在全波谱范围内给出它的准确解析解非常困难。
刘焕文初次接触缓坡方程是在1996年。
当时，年轻的刘焕文正在澳大利亚卧龙岗大学攻读博士学位，师从诸颂平教授学习水波理论。查阅文献时，他发现缓坡方程建立后二十多年都未找到解析解。经多方了解后终于弄清，这与波浪的物理参数“波数”有关。
在近海的变水深区域，波数依水深变化而变化。可不幸的是，这种依赖关系在数学上是隐含的超越函数关系。这个隐含关系又进一步导致缓坡方程的系数也是水深的隐函数，故使得解析求解缓坡方程极其困难。
从此，这个难题在刘焕文心中埋下了种子。
2002~2004年，回国一年后又前往新加坡国立大学进行学术访问的刘焕文，开始了对缓坡方程解析解的首次攻关。他与该校华裔教授林鹏智、印度裔教授闪卡合作，利用夯特1976年关于波色散关系的一个“显式”逼近，将波浪的波数、相速度和组速度3个物理参数转化为“显式”表达，将缓坡方程近似转化为“显式”方程，由此导出了缓坡方程的第一个近似解析解。
随后，他与林鹏智乘胜追击，又给出了波浪越过水下广义梯形陷坑和广义梯形防波堤时，缓坡方程特例长波方程的闭合形式解析解，并得到国际同行的诸多正面评价。
美国工程院院士R·G·Dean认为：“刘-林长波闭合形式解析解提供了验证数值解基础，能够演示宽广波场解，讨论了直线斜坡组成的范围广泛的地形，建立了适当的无量纲变量。”美国陆军工程兵团的专家和韩国学者更是分别将该长波解析解命名为“刘-林解(LL solution)”和“刘-林模型(LL model)”。
乘胜追击攀高峰
尽管给出了缓坡方程的逼近解析解，但刘焕文对“逼近”和“近似”仍不满意。
在他看来，既然缓坡方程的症结在“隐式”系数，那么就必须在去“隐式”上下功夫。于是，他决定再接再厉。
2011年，他和研究生杨静及林鹏智再度合作，应用微积分学中的隐函数存在定理和求导法则, 建立了计算波数、相速度和组速度的任意阶导数的3个关键递推式，由此构造了修正缓坡方程相对于几类二维地形的级数解。而这也是缓坡方程自1972年被导出后，40年来第一个求准确解析解的通用方法。
利用此方法，他进一步指导另两位研究生，构造了波浪越过带冲刷槽矩形防波堤时修正缓坡方程的解析解，纠正了前人关于反射系数为波谱变量的周期函数的结论。
“科学是将复杂问题变得简单。”刘焕文仍不满足于这个具有突破性的研究成果，他觉得这个基于隐函数定理的方法还是太繁琐，“较真”的刘焕文开始寻求一条更简洁的途径。
多年在水波研究领域的滚爬使他意识到，如果在缓坡方程中引入具有明确物理意义的波谱变量kh代替空间变量作为自变量，以自由水面高程为未知函数的缓坡类方程，就极有可能会直接变成“显式”方程。
“功夫不负有心人”。
在历经12年苦苦探索后获得的这一灵感，使刘焕文第一次将40多年来一直以“隐式”形式示人的缓坡方程，成功转化成了明晰的“显式”方程，使得对缓坡方程的准确求解变得非常简单。
科学无边界，探索无止境。现在，闲不下来的刘焕文又瞄准了另外3个新的目标——将他的这一最新理论成果分别应用于布拉格防波堤的优化设计、波浪越过周期结构地形的能带分析和港湾振荡现象的解析研究。■