同余数问题
记载于公元972年M B Alhocain的阿拉伯文稿中的同余数问题，被称为“千年数论难题”。
同余数是一个自然数，它是一个三条边都是有理数的直角三角形的面积。所谓同余数问题是说：“寻求一个简单的判别法则来决定一个自然数n是否是一个同余数”。
古阿拉伯人是通过研究直角三角形的面积提出同余数问题的。对于直角三角形，人们已经知道，它的三边满足方程a2+b2=c2，这就是我们所说的勾股定理（在国外又被称为毕达哥拉斯定理）。
当直角三角形的三边a,b,c为有理数，若直角三角形的面积n=为正整数，这样的n就是古阿拉伯人所欲求得的同余数。
法国数学家Pierre de Fermat、瑞士数学家Leonhard Euler等都对此问题进行过系统性的研究。Fermat运用自己发明的无穷递降法证明了1,2,3,不是同余数。其中1不是同余数等价于方幂等于4的费马大定理。即x4+y4=z4没有整数解。这也是最早出现的对非同余数的研究成果。
后来，Euler第一个证明了n=7是同余数。
1952年，数学家Heegner利用特殊值的导数公式，证明了模8余5,6,7的素数或素数的两倍都是同余数。
近年来，中国科学院数学与系统科学研究院科研团队在这个已有千余年历史的同余数问题研究中取得重大突破，通过算术几何、自守形式、L函数、Galois表示等数学分支交叉融合研究，证明了对任意给定K，均存在无穷多个本质素因子个数恰为K的同余数，并对相应的椭圆曲线证明了“七大千禧问题”之一的BSD猜想。
主要研究结果发表于《美国科学院院刊》（PNAS）和剑桥数学杂志。剑桥大学教授、国际数论权威John H. Coates在PNAS发表专文评论这项工作，指出该问题“也许是整个数学中最古老未解的主要问题”,“是这个古老问题的里程碑”。成果主要完成人荣获拉马努金奖、晨兴数学金奖。
Langlands纲领
同样起源于数论的Langlands纲领，被数学界公认为是21世纪最重大的数学难题之一，它预言了数论、代数群与李群、代数几何、分析等数学各分支之间存在着的深刻联系。而上述提到的“千禧问题”之一的BSD猜想，和另一“千禧问题”著名的Riemann猜想也都与Langlands纲领密切相关。
可以说，产生于20世纪中叶的Langlands纲领是当代数学中的“大工程”，吸引了大批杰出数学家的研究。
近年来在Langlands纲领领域研究中已产生了两个菲尔兹奖，但其中心问题还远未解决。L-函数是Langlands纲领的核心对象，而典型群表示论是研究L-函数的基本工具。
L-函数特殊值的算术性质是Langlands纲领，特别是算术代数几何的核心问题之一。高阶Rankin-Selberg L-函数特殊值的算术性质研究中有一个被称为非零假设的致命障碍。这个假设最早由以色列科学院、美国科学院院士D. Kazhdan和美国科学院院士B. Mazur在上世纪70年代提出，它断言作为分母出现在L-函数特殊值表达式中的一个局部zeta积分非零。
非零假设对于高阶L-函数特殊值算术性质研究和通过Rankin-Selberg方法及模符号构造高阶p-adic L-函数至关重要。近年来，许多关于L-函数特殊值的结果基于非零假设成立，如D. Kazhdan、B. Mazur、M. Harris等的至少十几篇文献中的结论，都是在非零假设成立的基础上证明的。
当n=2时，该假设被著名数学家E. Hecke证明。当n=3时，该假设被B. Mazur、H. Kasten和C.G. Schmidt等证明。
在前人工作的基础上，近年来，中科院数学院团队在Langlands纲领这一重大问题上取得突破，和国际数学家合作彻底解决了典型群重数一猜想，以及典型群Theta对应理论中的三个最基本的问题：重数保守猜想、守恒律猜想和对偶猜想，这些成果为相关L函数理论奠定了基础。
哥伦比亚大学教授M. Harris在2014年韩国首尔举行的国际数学家大会（ICM）上的45分钟报告中指出：由于非零假设的证明，人们可以预计L-函数特殊值这个问题将在近年得到快速发展。
美国《数学评论》评论该项成果是“该领域的基本定理之一”。国际同行评价它“证明了Theta对应理论中最重要猜想之一”，主要研究结果发表于国际数学顶尖期刊Ann of Math、Invent Math、J AMS（两篇）。■