伊辛(Ising)模型背后的故事
郝柏林
复旦大学理论生命科学研究中心
中国科学院理论物理研究所、美国圣菲研究所
伊辛1925年解决的只是一维问题。文章发表初期，引用很少，其中最重要的可能是海森堡1928年论文引言中，引用伊辛经典模型中没有相变，作为引入量子模型的论据。海森堡模型所引发的统计模型和可积系统的研究，至今方兴未艾、硕果累累。1944年Onsager发表了平面正方二维伊辛模型的精确解，证明确有一个相变点。这是统计物理发展的里程碑。不过，那篇文章极其难读。直到1949年Onsager和Kaufmann发表了使用旋子代数的新解法，人们才得以领会奥妙，计算其它晶格，并且开始了求解三维伊辛模型的尝试。
年青的Luttinger写信给Onsager，想用他的方法求解三维问题，作为博士论文。Onsager回信说，用我的方法解决三维伊辛模型的可能性等于零。1950年代初，在一次国际会议上有人写出了三维问题的“解”。Eliott立即从座位上跳起来说，那不可能是对的。同一时期有流言盛传，说一位年青的英国人解决了三维问题。直到Onsager专程去了一趟英国，传言才销声匿迹。那位年青人叫John Maddox。他在失望之余，放弃物理，改做科学记者，最终成功地担任了许多年《自然》杂志的主编。退休前后，英国女王赐封Sir头衔。1985年Maddox访问北京，笔者当面核对了这段历史。1978年曾经传闻，理论物理尖子之一，苏联的Polyakov解决了三维问题，但不久就烟消云散，Polyakov转去做量子引力。
Onsager求得配分函数，顺便得到比热临界指数α=0。他曾在一次国际会议的讨论中，在黑板上写出另一个临界指数β=1/8，但是从来没有说明是怎样算出来的。1952年杨振宁严格计算出β，是对伊辛模型的重大贡献。1967年吴大峻等计算出另一指数γ=7/4。1966年杨振宁应邀参加一次关于相变的会议，返程时与Onsager在候机室中谈话。杨先生对Onsager说，我可以跟随你的全部推导，计算出那一大堆对易关系，但是始终不明白你是怎样走到这一步的。那天Onsager的情绪很好，打开了话匣子。Onsager说，他离开欧洲到美国之际，听说有人把两根一维链连成一架梯子，还可以精确求解。于是试着把三根、四根、五根一维链横着连起来，计算出配分函数。一直算到七根，就悟出一般算法，写成文章。1995年杨先生在厦门举行的第19届国际统计物理学大会上做报告时，回忆了这段往事。可惜后来在为会议文集撰写的文字里，省去了这些细节。
在尝试过求解三维伊辛模型的人中，笔者可能属于少数没有输光者。那是在1966-1976的文化大革命中。图书馆全部关闭，业务工作完全停止。我在运动初期挨大字报和接受批判之余，躲在家里求解三维伊辛模型。我先回顾了二维问题的各种解法，看那一种有可能推广到三维。一个难题一旦解决，就可以想出多种解法。Baxter的一篇论文题目就叫“伊辛模型的第399种解”。我提出一种以四元数做转移概率的三维无规行走模型，它的严格解可以回到正确的二维伊辛模型。记得1960年代末的某夜，我以为拿到了最后结果，兴奋地算到天亮。不久就明白了，它只是三维伊辛模型的一个封闭近似解。1972年杨振宁先生访问北京大学，在临湖轩同一些物理学工作者会面。杨先生逐个询问大家在研究什么，我就说了伊辛模型，并问起三维问题有何进展。
我在简单立方晶格上的计算涉及到非对易的“体”上的12乘12的行列式。最直接的做法，是坚持使用左乘或右乘，按行或列展开，得到左行式、左列式、右行式、右列式四个对象。苏联数学家塔拉索夫曾经证明，如果这四个量相同，那原来的行列式不是定义在“体”上，而是定义在对易的“域”上。我注定会得到两个或更多的结果。幸运的是我首先算得的结果，正好是伊辛模型的封闭近似解。几天后算出的另一个解，物理上完全不对。由于计算上的“非唯一”，这结果一直放到打倒“四人帮”以后。我同数学所许以超、石赫讨论，领教了华(罗庚)门弟子的过硬算功。许以超当晚解析地求得那唯一的临界温度，与我的数值结果一样。他们的严格结果，恰好同我第一次计算所得一致。我们的联名论文发表在《物理学报》上。这一组工作得了1987年中国科学院重大科技成果奖。
为了把计算推广到三维体心立方晶格，需要计算16乘16的“体”上行列式。这超出了手工操作的可能性。于是我着手引进计算机解析推导的软件，最初是REDUCE和巴黎萨克莱核中心理论组J.-M. Drouffe搞的CMP。最终计算是同博士生符洪与萨克莱的Robert Conte共同完成的。经过几个月的人工准备，那最后的计算在IBM3090计算机上只用了9秒钟。英文文章发表出来已经到了1986。
1977年4月我初次到欧洲访问，在奥尔塞的巴黎南部大学做了报告。当晚，Rankovici教授在家里请客，做陪的是后来拿了诺贝尔物理学奖的de Genne。我和Rankovici就三维伊辛模型是否存在封闭解有所争论，他说“不存在”，我根据计算中遇到的大量规整对称的中间结果的启示，说“存在”。最后我们赌了一瓶香槟酒。不过，至今这瓶酒还没有归属。
1981年我在布鲁塞尔自由大学做访问教授。德国的Hermann Haken趁机邀请我和老伴参加在阿尔俾斯上南麓举行的协同学讨论会。会议主题是“自然界中的有序和混沌”。我在会议上还是讲有序，即三维伊辛模型的封闭近似解，不过从山上下来就钻进了混沌。发表在会议文集中的报告，是我关于伊辛模型工作的第一篇英文记录。
1970年代末，王竹溪先生曾用3个半天，在他主持的讨论班上讲述了二维伊辛模型的Onsager和Kaufmann解。王先生在最后说，关于三维模型的最好结果是郝柏林得到的。可惜王先生的话没有书面记录，只留在一部分讨论班参加者的记忆中。
补注: 2007年8月17日对文字做了两处改动.
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